חורף 2021 (ניסוי 035581) – שאלה 1 סעיף באינדוקציה 571 · בגרות ניסוי

אינדוקציה · שאלון 571

חורף 2021 (ניסוי 035581) – שאלה 1 סעיף ב

פרק 7 – בגרויות ניסוי 2020–2021 (שאלון 035581)

1נוסח השאלה

2סעיף ב – הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

הוכח באינדוקציה או בכל דרך אחרת שהביטוי n³ − n מתחלק ב־6 ללא שארית לכל n טבעי.

סעיף ב – הוכחה באינדוקציה

מה צריך להראות:

📐 מתחלק ללא שארית

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

1³ − 1 = 0 = 6 · 0 ✓

0 מתחלק ב־6 ללא שארית.

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

k³ − k = 6m

📐 מתחלק ללא שארית

הביטוי מתחלק ב־d ללא שארית
אם אפשר לכתוב אותו כ־d · m, כאשר m שלם

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

סעיף ב – הוכחה באינדוקציה · המשך

k³ − k = 6m

כאשר m שלם.

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

הביטוי (k + 1)³ − (k + 1) מתחלק ב־6.

נפתח סוגריים:

📐 נוסחת הכפל המקוצר

(k + 1)³ − (k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 − k − 1

📐 נוסחת הכפל המקוצר

(a + b)³
= a³ + 3a²b + 3ab² + b³

סעיף ב – הוכחה באינדוקציה · המשך

= k³ + 3k² + 3k + 1 − k − 1

נסדר כך שיופיע הביטוי מההנחה:

= (k³ − k) + 3k² + 3k

נציב את ההנחה ונוציא גורם משותף 3k:

📐 הנחת האינדוקציה

= 6m + 3k(k + 1)

k ו־k + 1 הם שני מספרים שלמים עוקבים, ולכן אחד מהם זוגי והמכפלה שלהם זוגית:

📐 מכפלת שני מספרים עוקבים

= 6m + 3 · 2t

= 6(m + t) ✓

📐 הנחת האינדוקציה

k³ − k = 6m

📐 מכפלת שני מספרים עוקבים

אחד מהם זוגי, ולכן
k(k + 1) = 2t
כאשר t שלם

סעיף ב – הוכחה באינדוקציה · המשך

= 6(m + t) ✓

m + t שלם, ולכן מתחלק ב־6.

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא